作为一名计算机/AI背景的学生，我们习惯了离散的数据（数组、张量），但物理世界是连续的。

最近开始系统性复习信号处理，我发现如果跳出死记硬背公式的怪圈，从物理直觉和工程实现的角度去理解，这些概念其实非常优美且实用。这是我的第一篇学习总结，涵盖了信号基础、系统特性（LTI）与冲激响应。

1. 核心概念：连接两个世界的桥梁

连续 (CT) vs 离散 (DT)

现实世界的声音、温度、电压是连续变化的（Continuous Time, CT），但在计算机中，我们只能存储离散的点（Discrete Time, DT）。

  • 直觉理解：就像电影胶卷，虽然画面是跳跃的（一帧帧），但只要播放得够快，大脑就会把它补全为连续动作。
  • 采样 (Sampling)：这就是把现实世界“数字化”的过程。
    • 关键点：采样率决定了我们能保留多少原始信息（后续会学到奈奎斯特采样定理）。

冲激响应 (Impulse Response)

这是一个让我产生顿悟的概念。

  • 定义：如果你给系统一个无限短、无限强的脉冲（Unit Impulse，就像踢了系统一脚），系统后续产生的“回声”或“余震”，就是冲激响应 $h[n]$。
  • 为什么它最重要：对于线性系统，只要知道了它被踢一脚的反应，你就知道了它对世间万物的反应。（这是卷积的基础）。

2. Python 实操与可视化

光说不练假把式。我用 Python 模拟了信号采样以及线性/非线性系统的区别。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import platform

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# 0. 绘图配置与中文支持修复
# ==========================================
def set_chinese_font():
    system_name = platform.system()
    if system_name == "Windows":
        # Windows 系统通常使用 SimHei (黑体)
        plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    elif system_name == "Darwin":
        # macOS 系统通常使用 Arial Unicode MS 或 PingFang SC
        plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Arial Unicode MS', 'PingFang SC', 'Heiti TC']
    else:
        # Linux 或其他
        plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['WenQuanYi Micro Hei', 'DejaVu Sans']
    
    # 解决负号显示为方块的问题
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 应用配置
set_chinese_font()
plt.style.use('seaborn-v0_8-whitegrid')

def module_1_visualization():
    # ==========================================
    # 1. 采样可视化 (CT vs DT)
    # ==========================================
    t_continuous = np.linspace(0, 1, 1000) 
    f = 5 
    signal_ct = np.sin(2 * np.pi * f * t_continuous)

    fs = 20 
    n_discrete = np.arange(0, 1, 1/fs)
    signal_dt = np.sin(2 * np.pi * f * n_discrete)

    # 调整画布大小，防止重叠
    plt.figure(figsize=(14, 6))
    
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.plot(t_continuous, signal_ct, label='连续信号 (Analog)', color='gray', alpha=0.5)
    plt.stem(n_discrete, signal_dt, linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt='r-', label='离散采样 (Samples)')
    
    plt.title("概念 1: 采样 (CT 转 DT)", fontsize=14)
    plt.xlabel("时间 Time (s)")
    plt.ylabel("幅度 Amplitude")
    # 图例放在右上方外部
    plt.legend(loc='upper left', bbox_to_anchor=(1, 1)) 

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    # 2. 深度对比：线性 vs 非线性系统
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    x = np.linspace(-1, 1, 50)
    
    # 线性系统 LTI: y = 2x
    y_linear = 2 * x
    
    # 非线性系统: y = x^2 
    y_nonlinear = x**2

    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.plot(x, x, 'k--', label='输入信号 x', alpha=0.5)
    plt.plot(x, y_linear, 'g-', label='线性系统 (y=2x)')
    plt.plot(x, y_nonlinear, 'r-', label='非线性系统 (y=x^2)')
    
    plt.title("概念 2: 系统特性 (线性 vs 非线性)", fontsize=14)
    plt.xlabel("输入幅度 Input")
    plt.ylabel("输出幅度 Output")
    plt.legend(loc='upper left', bbox_to_anchor=(1, 1))

    plt.tight_layout()
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    module_1_visualization()

实验结果图：

观察与思考

  1. 左图 (采样)：蓝色的点是我们存储在计算机里的数据，灰色的线是真实世界的信号。可以看出，离散点丢失了点与点之间的信息，但保留了整体趋势。
  2. 右图 (系统特性)：这是容易被忽视的深层细节。
  • 绿色 (线性)：波形形状没变，只是幅度变了。
  • 红色 (非线性)：输入是直线（或正弦波），输出变成了抛物线。注意：非线性系统会创造出输入信号中原本不存在的频率！（例如 $sin^2(t)$ 会导致正弦波频率加倍）。

3. 深度解析：线性时不变 (LTI) 系统

在教材中，LTI (Linear Time-Invariant) 往往是一堆枯燥的判定公式，但在工程视角下，它们是算法成立的前提。

线性 (Linearity) = “可叠加”

  • 公式：$T(a x_1 + b x_2) = a T(x_1) + b T(x_2)$
  • 人话：复杂问题可以拆解。如果系统是线性的，我们可以把一个复杂的语音信号拆成无数个简单的正弦波（傅里叶变换），分别处理后再加回去。如果系统是非线性的，这种拆解就失效了。

时不变 (Time-Invariance) = “可复现”

  • 人话：系统的性格很稳定。今天测试的结果，明天也能复现；不管信号是第 1 秒进来还是第 10 秒进来，系统的处理方式一模一样。

冲激响应的上帝视角：筛选性质

数学上有一个极美的公式：

这告诉我：任何复杂的信号，本质上都是无数个“冲激信号”在不同时间、不同强度下的叠加。

因为系统是线性的（可叠加），且信号是由冲激组成的，所以：

系统的输出 = 无数个“冲激响应”的叠加。

这就是我们要学的下一个模块——卷积的物理本质。

Next Step: 下一篇我们将手写卷积算法，看看如何用代码实现“翻转、平移、相乘”。